Физический смысл производной

Если $s=s(t)$ – закон прямолинейного движения, то $s\text{'}(t)$ выражает скорость движения в момент времени $t$ , т.е. $v=s\text{'}(t)$ (мгновенная скорость).

Например, закон свободного падения тела выражается зависимостью $s=\frac{gt{}^2}{2}$ . Тогда скорость падения тела в момент $t$ такова:

$v=s\text{'}=(\frac{gt{}^2}{2})\text{'}=\frac{g}{2}(t{}^2)\text{'}=\frac{g}{2}\mathrm{2t}=\mathrm{gt}$

Вообще производная функции $y=f(x)$ в точке $x$ выражает скорость изменения функции в точке $x$ , т.е. скорость протекания процесса, описанного зависимостью $y=f(x)$ . В этом состоит физический смысл производной. Например, для функции $y=x{}^2$ имеем $f\text{'}(x)=\mathrm{2x}$ , при $x=2$ имеем $f\text{'}(2)=4$ , а при $x=3$ имеем $f\text{'}(3)=6$ . Это значит, что в точке $x=2$ функция изменяется в 4 раза быстрее аргумента, а в точке $x=3$ - в 6 раз быстрее.