Физический смысл производной

Если <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mi>s</mi><mo>=</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy='false'>(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy='false'>)</mo> </math> – закон прямолинейного движения, то <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mi>s</mi> <mo>'</mo> <mo stretchy='false'>(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy='false'>)</mo> </math> выражает скорость движения в момент времени <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mi>t</mi> </math> , т.е. <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mi>s</mi> <mo>'</mo> <mo stretchy='false'>(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy='false'>)</mo> </math> (мгновенная скорость).

Например, закон свободного падения тела выражается зависимостью <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>g</mi> <mi>t</mi> <mrow> <msup> <mrow></mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </math> . Тогда скорость падения тела в момент <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mi>t</mi> </math> такова:

Вообще производная функции <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy='false'>(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy='false'>)</mo> </math> в точке <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mi>x</mi> </math> выражает скорость изменения функции в точке <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mi>x</mi> </math> , т.е. скорость протекания процесса, описанного зависимостью <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy='false'>(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy='false'>)</mo> </math> . В этом состоит физический смысл производной. Например, для функции <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mrow> <msup> <mrow></mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mrow> </math> имеем <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <mi>f</mi> <mo>'</mo> <mo stretchy='false'>(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy='false'>)</mo> <mo>=</mo> <mi>2x</mi> </mrow> </math> , при <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>2</mi> </math> имеем <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <mi>f</mi> <mo>'</mo> <mo stretchy='false'>(</mo> <mi>2</mi> <mo stretchy='false'>)</mo> <mo>=</mo> <mi>4</mi> </mrow> </math> , а при <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>3</mi> </math> имеем <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <mi>f</mi> <mo>'</mo> <mo stretchy='false'>(</mo> <mi>3</mi> <mo stretchy='false'>)</mo> <mo>=</mo> <mi>6</mi> </mrow> </math> . Это значит, что в точке <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>2</mi> </math> функция изменяется в 4 раза быстрее аргумента, а в точке <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>3</mi> </math> - в 6 раз быстрее.